【动态规划】P6005 [USACO20JAN] Time is Mooney G|普及+

## 题目描述Bessie 正在安排前往牛尼亚的一次出差，那里有 $N$（$2 \leq N \leq 1000$）个编号为 $1 \ldots N$ 的城市，由 $M$（$1 \leq M \leq 2000$）条单向的道路连接。Bessie 每次访问城市 $i$ 都可以赚到 $m_i$ 哞尼（$0 \leq m_i \leq 1000$）。从城市 $1$ 出发，Bessie 想要赚到尽可能多的

闻缺陷则喜何志丹

1029人浏览 · 2025-03-19 17:00:00

闻缺陷则喜何志丹 · 2025-03-19 17:00:00 发布

本文涉及知识点

C++动态规划

P6005 [USACO20JAN] Time is Mooney G

题目描述

Bessie 正在安排前往牛尼亚的一次出差，那里有 $N$ （ $\leq N \leq 1000$ ）个编号为 $\ldots N$ 的城市，由 $M$ （ $\leq M \leq 2000$ ）条单向的道路连接。Bessie 每次访问城市 $i$ 都可以赚到 $m_i$ 哞尼（ $\leq m_i \leq 1000$ ）。从城市 $1$ 出发，Bessie 想要赚到尽可能多的哞尼，最后回到城市 $1$ 。为了避免争议， $m_1=0$ 。

沿着两个城市之间的道路移动需要消耗一天。出差的准备工作十分费钱；旅行 $T$ 天需要花费 $\times T^2$ 哞尼（ $\leq C \leq 1000$ ）。

Bessie 在一次出差中最多可以赚到多少哞尼？注意有可能最优方案是 Bessie 不访问城市 $1$ 之外的任何城市，在这种情况下结果应当为 $0$ 。

输入格式

输入的第一行包含三个整数 $N$ 、 $M$ 和 $C$ 。

第二行包含 $N$ 个整数 $m_1,m_2,\ldots, m_N$ 。

以下 $M$ 行每行包含两个空格分隔的整数 $a$ 和 $b$ （ $\neq b$ ），表示从城市 $a$ 到城市 $b$ 的一条单向道路。

输出格式

输出一行，包含所求的答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

说明/提示

最优的旅行方案是 $\to 2 \to 3 \to 1 \to 2 \to 3 \to1$ 。Bessie 总共赚到了 $\times 6^2=24$ 哞尼。

动态规格

动态规划的状态表示

dp[t][j] 时间t在城市j，赚取的最大收益，最后统一扣掉成本。t $\in$ [0,1000] 大于1000天，利润必定为负，忽略。空间复杂度：O(1000n)。可以用滚动向量优化空间。

动态规划的填报顺序

枚举前置状态，t =0 < 1000，第二层循环枚举各边。

动态规划的转移方程

对于前置状态p,枚举所有边u,v MaxSelf(dp[t+1][v],dp[t][u]+mv)

动态规划的初始值

dp[0][0]=0，其它INT_MIN/2。

动态规划的返回值

dp[t][0]- Ctt的最大值，如果小于0，返回0。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp){
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	} 
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};


class KMP
{
public:
	virtual int Find(const string& s, const string& t)
	{
		CalLen(t);
		for (int i1 = 0, j = 0; i1 < s.length(); )
		{
			for (; (j < t.length()) && (i1 + j < s.length()) && (s[i1 + j] == t[j]); j++);
			//i2 = i1 + j 此时s[i1,i2)和t[0,j)相等 s[i2]和t[j]不存在或相等
			//t[0,j)的结尾索引是j-1，所以最长公共前缀为m_vLen[j-1]，简写为y 则t[0,y)等于t[j-y,j)等于s[i2-y,i2)
			if (0 == j)
			{
				i1++;
				continue;
			}
			const int i2 = i1 + j;
			j = m_vLen[j - 1];
			i1 = i2 - j;//i2不变
		}
		return -1;
	}
	//vector<int> m_vSameLen;//m_vSame[i]记录 s[i...]和t[0...]最长公共前缀，增加可调试性 部分m_vSameLen[i]会缺失
	//static vector<int> Next(const string& s)
	//{// j = vNext[i] 表示s[0,i]的最大公共前后缀是s[0,j]
	//	const int len = s.length();
	//	vector<int> vNext(len, -1);
	//	for (int i = 1; i < len; i++)
	//	{
	//		int next = vNext[i - 1];
	//		while ((-1 != next) && (s[next + 1] != s[i]))
	//		{
	//			next = vNext[next];
	//		}
	//		vNext[i] = next + (s[next + 1] == s[i]);
	//	}
	//	return vNext;
	//}

	const vector<int> CalLen(const string& str)
	{
		m_vLen.resize(str.length());
		for (int i = 1; i < str.length(); i++)
		{
			int next = m_vLen[i - 1];
			while (str[next] != str[i])
			{
				if (0 == next)
				{
					break;
				}
				next = m_vLen[next - 1];
			}
			m_vLen[i] = next + (str[next] == str[i]);
		}
		return m_vLen;
	}
protected:
	int m_c;
	vector<int> m_vLen;//m_vLen[i] 表示str[0,i]的最长公共前后缀的长度
};

class CUnionFind
{
public:
	CUnionFind(int iSize) :m_vNodeToRegion(iSize)
	{
		for (int i = 0; i < iSize; i++)
		{
			m_vNodeToRegion[i] = i;
		}
		m_iConnetRegionCount = iSize;
	}
	CUnionFind(vector<vector<int>>& vNeiBo) :CUnionFind(vNeiBo.size())
	{
		for (int i = 0; i < vNeiBo.size(); i++) {
			for (const auto& n : vNeiBo[i]) {
				Union(i, n);
			}
		}
	}
	int GetConnectRegionIndex(int iNode)
	{
		int& iConnectNO = m_vNodeToRegion[iNode];
		if (iNode == iConnectNO)
		{
			return iNode;
		}
		return iConnectNO = GetConnectRegionIndex(iConnectNO);
	}
	void Union(int iNode1, int iNode2)
	{
		const int iConnectNO1 = GetConnectRegionIndex(iNode1);
		const int iConnectNO2 = GetConnectRegionIndex(iNode2);
		if (iConnectNO1 == iConnectNO2)
		{
			return;
		}
		m_iConnetRegionCount--;
		if (iConnectNO1 > iConnectNO2)
		{
			UnionConnect(iConnectNO1, iConnectNO2);
		}
		else
		{
			UnionConnect(iConnectNO2, iConnectNO1);
		}
	}

	bool IsConnect(int iNode1, int iNode2)
	{
		return GetConnectRegionIndex(iNode1) == GetConnectRegionIndex(iNode2);
	}
	int GetConnetRegionCount()const
	{
		return m_iConnetRegionCount;
	}
	vector<int> GetNodeCountOfRegion()//各联通区域的节点数量
	{
		const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();
		vector<int> vRet(iNodeSize);
		for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)
		{
			vRet[GetConnectRegionIndex(i)]++;
		}
		return vRet;
	}
	std::unordered_map<int, vector<int>> GetNodeOfRegion()
	{
		std::unordered_map<int, vector<int>> ret;
		const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();
		for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)
		{
			ret[GetConnectRegionIndex(i)].emplace_back(i);
		}
		return ret;
	}
private:
	void UnionConnect(int iFrom, int iTo)
	{
		m_vNodeToRegion[iFrom] = iTo;
	}
	vector<int> m_vNodeToRegion;//各点所在联通区域的索引,本联通区域任意一点的索引，为了增加可理解性，用最小索引
	int m_iConnetRegionCount;
};

template<class INDEX_TYPE>
class CBinarySearch
{
public:
	CBinarySearch(INDEX_TYPE iMinIndex, INDEX_TYPE iMaxIndex, INDEX_TYPE tol = 1) :m_iMin(iMinIndex), m_iMax(iMaxIndex), m_iTol(tol) {}
	template<class _Pr>
	INDEX_TYPE FindFrist(_Pr pr)
	{
		auto left = m_iMin - m_iTol;
		auto rightInclue = m_iMax;
		while (rightInclue - left > m_iTol)
		{
			const auto mid = left + (rightInclue - left) / 2;
			if (pr(mid))
			{
				rightInclue = mid;
			}
			else
			{
				left = mid;
			}
		}
		return rightInclue;
	}
	template<class _Pr>
	INDEX_TYPE FindEnd(_Pr pr)
	{
		INDEX_TYPE leftInclude = m_iMin;
		INDEX_TYPE right = m_iMax + m_iTol;
		while (right - leftInclude > m_iTol)
		{
			const auto mid = leftInclude + (right - leftInclude) / 2;
			if (pr(mid))
			{
				leftInclude = mid;
			}
			else
			{
				right = mid;
			}
		}
		return leftInclude;
	}
protected:
	const INDEX_TYPE m_iMin, m_iMax, m_iTol;
};

class Solution {
public:
	int Ans(const int C, vector<int>& vm, vector<pair<int, int>>& edge) {
		for (auto& [u, v] : edge) {
			u--, v--;
		}
		const int N = vm.size();
		int ans = 0;
		vector<int> pre(N, INT_MIN / 2);
		pre[0] = 0;
		const int T = 1000;
		for (int t = 0; t < T; t++) {
			vector<int> cur(N, INT_MIN / 2);
			for (const auto& [u, v] : edge) {
				cur[v] = max(cur[v], pre[u] + vm[v]);
			}
			ans = max(ans, cur[0] - C * (t + 1) * (t + 1));
			pre.swap(cur);
		}
		return ans;
	}
};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0);
	int n,m,C; 
	cin >> n >> m>>C;
	auto vm = Read<int>(n);
	auto edge = Read<pair<int, int>>(m);
#ifdef _DEBUG		
	printf("C=%d", C);	
	Out(vm, ",vm=");
	Out(edge, "edge=");
	//Out(edge2, ",edge2=");
	/*Out(que, "que=");*/
#endif // DEBUG	
	auto res = Solution().Ans(C,vm,edge);
	cout << res << "\n";
	return 0;
}

单元测试

int C;
		vector<int> vm;
		vector<pair<int, int>> edge;
		TEST_METHOD(TestMethod1)
		{
			C = 1, vm = { 0,10,20 },edge = { {1,2},{2,3},{3,1} };
			auto res = Solution().Ans(C, vm,edge);
			AssertEx(24, res);
		}

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