P1803 凌乱的yyy / 线段覆盖

题目背景

Python 用户可以尝试使用 pypy3 提交试题。

快 noip 了，yyy 很紧张！

题目描述

现在各大 oj 上有 $n$ 个比赛，每个比赛的开始、结束的时间点是知道的。

yyy 认为，参加越多的比赛，noip 就能考的越好（假的）。

所以，他想知道他最多能参加几个比赛。

由于 yyy 是蒟蒻，如果要参加一个比赛必须善始善终，而且不能同时参加 $2$ 个及以上的比赛。

输入格式

第一行是一个整数 $n$，接下来 $n$ 行每行是 $2$ 个整数 $a_i,b_i(a_i<b_i)$，表示比赛开始、结束的时间。

输出格式

一个整数最多参加的比赛数目。

输入输出样例 #1

输入 #1

3
0 2
2 4
1 3

输出 #1

2

说明/提示

• 对于 $20\%$ 的数据，$n\le 10$；
• 对于 $50\%$ 的数据，$n\le 10^3$；
• 对于 $70\%$ 的数据，$n\le 10^5$；
• 对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 10^6$，$0\le a_i<b_i\le 10^6$。

问题分析

这是一个经典的 活动选择问题（Activity Selection Problem），贪心策略如下：

1. 按结束时间排序：将所有比赛按结束时间 b_i 升序排序。
2. 选择最早结束的比赛：每次选择结束时间最早且不与已选比赛重叠的比赛。

正确性证明：

• 选择最早结束的比赛后，剩余的时间最大化，可以容纳更多后续比赛。

贪心算法（区间问题）

1. 排序：按 b_i 升序排序，如果 b_i 相同则按 a_i 升序排序。
2. 遍历选择：

• 初始化 last_end = -∞（上一个选择的比赛的结束时间）。

• 遍历排序后的比赛，如果当前比赛的开始时间 a_i ≥ last_end，则选择该比赛，并更新 last_end = b_i。

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct Contest {
    int start, end;
};

bool compare(const Contest &x, const Contest &y) {
    return x.end < y.end; // 按结束时间升序排序
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<Contest> contests(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> contests[i].start >> contests[i].end;
    }

    sort(contests.begin(), contests.end(), compare);

    int count = 0;
    int last_end = -1; // 初始化上一个比赛的结束时间
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (contests[i].start >= last_end) {
            count++;
            last_end = contests[i].end;
        }
    }

    cout << count << endl;
    return 0;
}

总结

1.结构体定义：Contest 存储比赛的开始和结束时间。

2.排序规则：按 end 升序排序，确保优先选择结束早的比赛。

3.贪心选择：

	- 如果当前比赛的开始时间 ≥ last_end，则选择该比赛。

	- 更新 last_end 为当前比赛的结束时间。

4.输出结果：count 记录最多能参加的比赛数量。