P4995 跳跳！

题目描述

你是一只小跳蛙，你特别擅长在各种地方跳来跳去。

这一天，你和朋友小 F 一起出去玩耍的时候，遇到了一堆高矮不同的石头，其中第 $i$ 块的石头高度为 $h_i$，地面的高度是 $h_0=0$。你估计着，从第 $i$ 块石头跳到第 $j$ 块石头上耗费的体力值为 $(h_i-h_j{)}^2$，从地面跳到第 $i$ 块石头耗费的体力值是 $(h_i{)}^2$。

为了给小 F 展现你超级跳的本领，你决定跳到每个石头上各一次，并最终停在任意一块石头上，并且小跳蛙想耗费尽可能多的体力值。

当然，你只是一只小跳蛙，你只会跳，不知道怎么跳才能让本领更充分地展现。

不过你有救啦！小 F 给你递来了一个写着 AK 的电脑，你可以使用计算机程序帮你解决这个问题，万能的计算机会告诉你怎么跳。

那就请你——会写代码的小跳蛙——写下这个程序，为你 NOIp AK 踏出坚实的一步吧！

输入格式

输入一行一个正整数 $n$，表示石头个数。

输入第二行 $n$ 个正整数，表示第 $i$ 块石头的高度 $h_i$。

输出格式

输出一行一个正整数，表示你可以耗费的体力值的最大值。

输入输出样例 #1

输入 #1

2
2 1

输出 #1

5

输入输出样例 #2

输入 #2

3
6 3 5

输出 #2

49

说明/提示

样例解释

两个样例按照输入给定的顺序依次跳上去就可以得到最优方案之一。

数据范围

对于 $1\le i\le n$，有 $0<h_i\le 10^4$，且保证 $h_i$ 互不相同。

对于 $10\%$ 的数据，$n\le 3$；

对于 $20\%$ 的数据，$n\le 10$；

对于 $50\%$ 的数据，$n\le 20$；

对于 $80\%$ 的数据，$n\le 50$；

对于 $100\%$ 的数据，$n\le 300$。

题解分析

小跳蛙需要从地面（高度为0）出发，依次跳到每个石头各一次，最终停在任意一块石头上。每次跳跃的体力消耗为两石头高度差的平方。目标是找到一种跳跃顺序，使得总耗费体力值最大。

解题思路

贪心策略

要使总体力消耗最大，应最大化每次跳跃的高度差。因此：

1. 将石头按高度排序
2. 采用高低交替跳跃的策略：
   • 从地面跳到最高的石头
   • 从最高跳到最低
   • 从最低跳到次高
   • 依此类推…

正确性证明

• 平方函数是凸函数，高度差越大，增量越大
• 这种交替跳跃方式能保证每次跳跃都尽可能产生最大高度差
• 数学归纳法可证明这是全局最优解

代码实现分析

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 310;
long long a[N], n;

int main() {
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    sort(a + 1, a + n + 1);  // 升序排序
    
    int l = 0, h = n;        // l指向最低，h指向最高
    long long ans = 0;
    bool flag = true;        // 标记跳跃方向
    
    while(l < h){
		if(flag){
			// 跳到低的 
			ans +=pow(a[l++] - a[h], 2);
		}else{
			// 跳到高的
			ans +=pow(a[l] - a[h--], 2); 
		}
		flag = !flag;
	}
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

总结

1. 排序处理：

   • 将石头高度升序排列（a[1]到a[n]）

   • 方便后续用双指针选择最高和最低的石头

2. 双指针策略：

   * l指针初始指向最低石头（a[1]）

   • h指针初始指向最高石头（a[n]）

3. 跳跃逻辑：

   • 第一跳特殊处理：从地面（0）跳到最高石头

   • 之后交替选择高低石头：

   ans += pow(a[l] - a[h], 2);
   l++; h--;  // 移动指针
   

4. 边界处理：

   • 当石头数量为奇数时，最后一个石头会自动被处理

   • 使用 while(l <= h)确保所有石头都被访问