题目描述

棋盘上 A 点有一个过河卒，需要走到目标 B 点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上 C 点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。

棋盘用坐标表示，A 点 (0,0)、B 点 (n,m)，同样马的位置坐标是需要给出的。

现在要求你计算出卒从 A 点能够到达 B 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。

输入格式

一行四个正整数，分别表示 B 点坐标和马的坐标。

输出格式

一个整数，表示所有的路径条数。

输入输出样例

输入 

6 6 3 3

输出 

6

说明/提示

对于 100% 的数据，1≤n,m≤20，0≤ 马的坐标 ≤20。

【题目来源】

NOIP 2002 普及组第四题

题目分析

本题要求计算过河卒从起点(0,0)到终点(n,m)的路径数目，路径中不能经过马及其控制点。采用动态规划（DP）算法，结合对控制点的标记，确保路径计算时避开所有不可达区域。

方法思路

1. 标记控制点：根据马的坐标，标记其所在位置及所有一步可达的位置为控制点。

2. 动态规划计算路径：使用二维数组dp[i][j]表示从起点到点(i,j)的路径数。若当前点为控制点，路径数为0；否则，路径数为左侧和上侧点的路径数之和。

解决代码

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n, m, x, y;
    cin >> n >> m >> x >> y;
    
    // 标记控制点
    bool block[21][21] = {false};
    if (x >= 0 && x <= n && y >= 0 && y <= m) {
        block[x][y] = true;
        int dx[] = {1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};
        int dy[] = {2, 1, -1, -2, -2, -1, 1, 2};
        for (int i = 0; i < 8; ++i) {
            int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i];
            if (nx >= 0 && nx <= n && ny >= 0 && ny <= m)
                block[nx][ny] = true;
        }
    }
    
    // 动态规划初始化
    long long dp[21][21] = {0};
    if (block[0][0]) {
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    dp[0][0] = 1;
    
    // 计算路径数
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j <= m; ++j) {
            if (i == 0 && j == 0) continue;
            if (block[i][j]) {
                dp[i][j] = 0;
                continue;
            }
            if (i == 0)
                dp[i][j] = dp[i][j - 1];
            else if (j == 0)
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        }
    }
    
    cout << dp[n][m] << endl;
    return 0;
}

代码解释

1. 输入处理：读取终点坐标(n, m)和马的坐标(x, y)。

2. 控制点标记：若马的坐标在棋盘范围内，将其自身及8个可能的跳跃位置标记为不可达。

3. 动态规划初始化：起点(0,0)的路径数初始化为1，若起点被标记为控制点则直接输出0。

4. 路径计算：遍历棋盘上的每个点，根据是否被控制点阻挡更新路径数。边界点只能从单方向到达，非边界点路径数为左侧和上侧点的路径数之和。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(nm)，需遍历整个棋盘计算路径。

• 空间复杂度：O(nm)，用于存储控制点标记和动态规划数组。