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题目大意

给一个长度为 $n$ $(1\le n\le 10^5)$的数组 $a[i]$ $(1\le a_i\le 10^5)$,可以对数组任意排序，求 $gcd(a_1)+gcd(a_1+a_2)+\cdot \cdot \cdot +gcd(a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n)$ 的最小值。

思路

首先在不断加入数的过程中，$gcd$ 要么保持不变要么会下降，且最少会下降 $2$。考虑 $gcd$ 的种类，$log(10^5)/log(2)<17$ ,在这题也就最多16个。暴力循环最多16次找到使得$gcd$下降最猛的数放前面，直到没有数使得 $gcd$ 下降，剩下的所有数的前缀 $gcd$ 值将保持为同一个最小的值，时间复杂度$O(16\ast n)$ .

code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N];
bool st[N];

int gcd(int a,int b) {
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

void solve() {
    int n;
    cin>>n;
    memset(st,0,sizeof st);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        cin>>a[i];
    sort(a+1,a+n+1);
    int res=a[1];
    int now=a[1];
    st[1]=1;
    int cnt=1;
    while(1) {
        int flag=0;
        int tmp=now;
        for(int i=1;i<=n;++i) {
            if(st[i]) continue;
            if(gcd(a[i],now)<tmp) {
                tmp=gcd(a[i],now);
                flag=i;
            }
        }
        if(!flag) break;
        else {
            cnt++;
            st[flag]=1;
            now=tmp;
            res+=now;
        }
    }
    // cout<<cnt<<' '<<now<<'\n';
    res+=(n-cnt)*now;
    cout<<res<<'\n';
}
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    int t=1;
    cin>>t;
    while(t--) solve();
    return 0;
}