见P1119 灾后重建 - 洛谷

题目背景

B 地区在地震过后，所有村庄都造成了一定的损毁，而这场地震却没对公路造成什么影响。但是在村庄重建好之前，所有与未重建完成的村庄的公路均无法通车。换句话说，只有连接着两个重建完成的村庄的公路才能通车，只能到达重建完成的村庄。

题目描述

给出 B 地区的村庄数 N，村庄编号从 0 到 N−1，和所有 M 条公路的长度，公路是双向的。并给出第 i 个村庄重建完成的时间 ti​，你可以认为是同时开始重建并在第 ti​ 天重建完成，并且在当天即可通车。若 ti​ 为 0 则说明地震未对此地区造成损坏，一开始就可以通车。之后有 Q 个询问 (x,y,t)，对于每个询问你要回答在第 t 天，从村庄 x 到村庄 y 的最短路径长度为多少。如果无法找到从 x 村庄到 y 村庄的路径，经过若干个已重建完成的村庄，或者村庄 x 或村庄 y 在第 t 天仍未重建完成，则需要输出 −1。

输入格式

第一行包含两个正整数 N,M，表示了村庄的数目与公路的数量。

第二行包含 N 个非负整数 t0​,t1​,⋯,tN−1​，表示了每个村庄重建完成的时间，数据保证了 t0​≤t1​≤⋯≤tN−1​。

接下来 M 行，每行 3 个非负整数 i,j,w，w 不超过 10000，表示了有一条连接村庄 i 与村庄 j 的道路，长度为 w，保证 i=j，且对于任意一对村庄只会存在一条道路。

接下来一行也就是 M+3 行包含一个正整数 Q，表示 Q 个询问。

接下来 Q 行，每行 3 个非负整数 x,y,t，询问在第 t 天，从村庄 x 到村庄 y 的最短路径长度为多少，数据保证了 t 是不下降的。

输出格式

共 Q 行，对每一个询问 (x,y,t) 输出对应的答案，即在第 t 天，从村庄 x 到村庄 y 的最短路径长度为多少。如果在第 t 天无法找到从 x 村庄到 y 村庄的路径，经过若干个已重建完成的村庄，或者村庄 x 或村庄 y 在第 t 天仍未修复完成，则输出 −1。

输入输出样例

in：
4 5
1 2 3 4
0 2 1
2 3 1
3 1 2
2 1 4
0 3 5
4
2 0 2
0 1 2
0 1 3
0 1 4
out：
-1
-1
5
4

说明/提示

• 对于 30% 的数据，有 N≤50；
• 对于 30% 的数据，有 ti​=0，其中有 20% 的数据有 ti​=0 且 N>50；
• 对于 50% 的数据，有 Q≤100；
• 对于 100% 的数据，有 1≤N≤200，0≤M≤2N×(N−1)​，1≤Q≤50000，所有输入数据涉及整数均不超过 105。

首先我们从Floyd算法谈起，这是一个看上去很简单的算法-事实上也的确很简单，整个算法一共只有五行，三重循环＋一个判断就能求出图中任意两点之间的最短路径。

很多人都是直接把这个算法背了下来，然后要求最短路时直接默写，没有考虑到这个算法的本质意义，而这个题目，正好考了这个算法的本质，如果只会背的话，遇见这题直接就GG。

这个算法的主要思路，就是通过其他的点进行中转来求的两点之间的最短路。因为我们知道，两点之间有多条路，如果换一条路可以缩短距离的话，就更新最短距离。而它最本质的思想，就是用其他的点进行中转，从而达到求出最短路的目的。

---

那么，如何进行中转呢？两点之间可以由一个点作为中转点更新最短路径，也可以通过多个点更新最短路径。

结合代码：

for(k=1;k<=n;k++)
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])
                 e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
//核心代码，仅仅只有5行

这段代码的基本思想就是：最开始只允许经过1号顶点进行中转，接下来只允许经过1和2号顶点进行中转……允许经过1~n号所有顶点进行中转，求任意两点之间的最短路程。用一句话概括就是：从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程。

（仔细理解这段话，它揭露了这个算法的本质并为本题提供了很好的方法）

到这里我们已经知道，Floyd算法就是一个利用其它点进行中转来求最短路的步骤。

而我们再回头看题意：

所有的边全部给出，按照时间顺序更新每一个可用的点（即修建好村庄），对于每个时间点进行两点之间询问，求对于目前建设的所有村庄来说任意两点之间的最短路

不正好就是Floyd算法中使用前k个节点更新最短路的思维吗？

于是到了这里，我们差不多也就知道这题如何写了。

出题人还是很良心的，保证所有的数据都是用时间顺序给出的，所以我们只用读取+操作就可以了，不用再储存＋排序。

先给出总体思路：

nt main(){
	读入，存下每个村庄修复的时间
    读入所有的边并使用邻接矩阵存图
    初始化
    对于每次询问，将在当前时间前的所有点全部用Floyd更新。
    特殊判断并输出
}

具体实现：

首先是初始化部分，相信大家都会写

（特别注意一下这里的点编号是从0开始的，如果像我一样习惯从1开始的标下标的话要特别注意这一点）

不过这点写错了样例都过不了还是能很快改过来的吧

希望各位能通过这个题目更深一层地了解Floyd算法，这真的是一个很优秀的题目。同时它也提醒我们，学习算法时要弄懂各个细节，把整个算法的思想掌握，而不是仅仅把代码背下来.

放上AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=205;
const int M=2e4+5;
int e[N][N];
int st[N],t[N];
int q,a,b,c;
int n,m;
 
void floyd(int k) {
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=0; j<n; j++)
            if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])
                e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
}
 
int main() {
    memset(e,inf,sizeof(e));
    cin>>n>>m;
    for(int i=0; i<n; i++) {
        cin>>t[i];
        e[i][i]=0;
    }
    while(m--) {
        cin>>a>>b>>c;
        e[a][b]=e[b][a]=c;
    }
 
    cin>>q;
    while(q--) {
        cin>>a>>b>>c;
        for(int k=0; k<n; k++) {
            if(!st[k] && t[k]<=c) {
                st[k]=1;
                floyd(k);
            }
        }
        if(t[a]<=c && t[b]<=c && e[a][b]<inf) {
            cout<<e[a][b]<<endl;
        } else cout<<-1<<endl;
    }
 
    return 0;
}

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